Funzioni lineari, help! :(

[wesker]

raga mi serve una mano in questo esercizio

 

Sia f una funzione lineare tale che

f([2 3]) = [ 1 1 1 ]

 

Si determini una matrice A rappresentativa di f.

 

allora, f è lineare quindi può essere scritta nella forma Ax=b. però f dovrebbe essere una funzione definita da R^2-->R^3 . cioè "spara" vettori da R2 in R3 . e qui cado dal pero. io mi ricordo che n deve essere maggiore/uguale a m altrimenti la funzione non ha senso.

non ho le soluzioni degli esercizi quindi non so se il ragionamento che ho fatto è corretto -.-

consigli? grazie :)

[Tyrael]

c'è solo una cosa da fare taggare marcolino @@Marcolino2 xD

[Marcolino2]

Wesker, no, n non deve essere maggiore o uguale a m. Questa è una funzione che associa vettori di R2 a vettori di R3.

 

C'è da dire che il problema, posto così, ammette infinite soluzioni (e mi chiedo se la traccia sia completa oppure sia questa, e quindi le soluzioni dipendono dalla scelta che facciamo a nostro arbitrio) Infatti, per avere una funzione definita in modo univoco è necessario definirla su due vettori che formino una base (non necessariamente quella canonica) di R2 . Qui, se ho capito bene la traccia, la funzione è definita solo su [2 3]

f([2 3])= 1 1 1

 

In tal caso Allora dobbiamo scegliere un altro vettore, linearmente indipendente da (2 3) in modo che formi con (2 3) una base di R2 ed associare a nostro piacere un valore di R3 (percioò chiedo se la traccia sia completa, altrimenti possiamo associare tale vettore in modo arbitrario)

Ad esempio potremmo associare al vettore (0 1) , scelto a nostro arbitrio come base di R2 con (2 3), un vettore a nostro arbitrio di R3 ( 1 2 3)

f(0 1)= 1 2 3

 

Da qui poi possiamo determinare poi la matrice associata.

Ora, se la traccia è quella che hai scritto, fammi sapere così calcoliamo poi la matrice associata.

[wesker]

Grazie marco per l'aiuto.

Si la traccia è proprio quella, prima veniva chiesto di enunciare il teorema di rappresentazione.

Più che altro mi è venuto il dubbio provando a scrivere Ax=b come se fosse un normale sistema. Ma così ho 3 equazioni e 2 incognite. Quindi dovrei ottenere una soluzione doppia. Infatti ho pensato a 1 1 1 come x1= 1, e X2/X3 = 1

 

 

[Marcolino2]

Allora, così definita, la funzione ammette infinite rappresentazioni perché ovviamente esistono infinite funzioni tali che f(2 3)=(1 1 1). Dovremmo risolvere un sistema di 3 equazioni in 6 incognite, cosa che implica ovviamente infinite soluzioni.

Purtroppo mi manca l'editor per le matrici

il sistema da risolvere, tenendo conto che f(2 3)=(1 1 1)

è A(2 3)=(1 1 1)

ossia

2 a11 + 3a12 =1

2 a21 + 3a22=1

2 a31 + 3a32=1

 

ovviamente essendo 6 incognite in 3 equazioni possiamo attribuire a 3 delle incognite dei valori a nostro arbitrio, come ad sempio a11=0 a22=0 e a32=0 da cui ottengo a12 =1/3 a21=1/2 e a31=1/2

ossia la matrice

 

A = 0 1/3

1/2 0

1/2 0

 

questa matrice A è tale che A (2 3) =(1 1 1)

 

come ti dicevo, @wesker, esistono infinite matrici che rappresentano questa condizione, così come esistono diversi modi per risolvere l'esercizio.

 

[Marcolino2]

La matrice più generale dipende da 3 parametri l k e t ed è

A= prima riga (l 1-2l/3) seconda riga (t 1-2t/3) e terza riga (k 1-2k/3)